1. Kalman-Bucy濾波器及系統(tǒng)背景

Kalman-Bucy濾波器本質(zhì)上是一種針對(duì)線性系統(tǒng)的濾波器，可以在系統(tǒng)中存在高斯白噪聲時(shí)對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)稟信號(hào)進(jìn)行濾波，從而得到相對(duì)純凈、相對(duì)接近內(nèi)稟信號(hào)的測(cè)量信號(hào)。

設(shè)濾波器的輸出信號(hào)（亦即測(cè)量信號(hào)）為Y(t)，濾波器的輸入信號(hào)（即系統(tǒng)的內(nèi)稟信號(hào)，或稱有用信號(hào)）為X(t)。濾波器的作用，就是將系統(tǒng)中的狀態(tài)量X(t)在噪聲影響下，借助測(cè)量值Y(t)，正確估計(jì)出來系統(tǒng)中的內(nèi)稟（有用）信號(hào)。

系統(tǒng)中的有用信號(hào)可以表示為

另外，假設(shè)有用信號(hào)初值的期望已知：

方差已知：

再設(shè)系統(tǒng)的輸出信號(hào)Y ( t ) \mathbf{Y}(t)Y(t)具有如下形式

設(shè)濾波器的濾波誤差為

濾波器的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)滿足如下條件，使得濾波器得到的狀態(tài)估計(jì)量為無偏的，且估計(jì)誤差的均方差

最小。

2. 系統(tǒng)中相關(guān)關(guān)系整理

濾波器的任務(wù)，就是根據(jù)測(cè)量值Y(t)得到狀態(tài)量X(t)的估計(jì)，且該估計(jì)為無偏的和最小誤差均方差的。

3. 公式推導(dǎo)

(1) 無偏估計(jì)條件

為滿足無偏估計(jì)的條件，需要有

對(duì)式(3)兩邊取期望有

代入式(5)并根據(jù)式(4)有

另一方面，對(duì)式(1)兩邊取數(shù)學(xué)期望有（考慮到噪聲的期望為0）

根據(jù)式(4)可以看出，式(6)和式(7)的等號(hào)右邊應(yīng)該相等，那么

反代回式(3)，得到濾波器的結(jié)構(gòu)

(2) 最小誤差均方差條件

最小誤差均方差條件表示為

對(duì)誤差求導(dǎo)有（用到式(2)(9)）

其中

(3) 誤差的方差條件

這里不加證明地給出如下結(jié)論：

(5) 矩陣跡的求導(dǎo)

為了求解式(15)，需要先介紹一些涉及到矩陣跡的求導(dǎo)公式

參照式(14)右邊的各項(xiàng)，先得出如下項(xiàng)的跡的導(dǎo)數(shù)：

把如上式子全部代入微分方程(15)，可以求解得

(6) 兩個(gè)噪聲之間的特殊情況

(7) 濾波器的結(jié)論